... licht¹

We gebruiken deze term in algemene zin om niet alleen het zichtbare licht, maar het gehele elektromagnetische spectrum aan te duiden.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... produkt²

In het algemeen kunnen toestandfuncties complex zijn. We definiëren het scalaire produkt in dat geval als ${\bf f}^* \cdot {\bf g} = \int_{-\infty}^\infty f(x)^* \cdot g(x) dx$. Men schrijft dit ook wel als $<f \vert g> \equiv {\bf f}^* \cdot {\bf g}$, waarbij de `bra' $<f\vert$ de complex geconjugeerde is van de `ket' $\vert f>$. Deze laatste notatie is ingevoerd door Dirac. Merk op dat geldt $<\psi \vert \phi >^* = <\phi \vert \psi >$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... eigenwaarden³

In het Dirac formalisme is een operator ${\bf A}$ hermitisch als voor elke twee kets $\vert u>$ en $\vert v>$ geldt dat $<v \vert Au> = <Av \vert u>$. We kunnen dit schrijven als $<v \vert A \vert u> = <u \vert A \vert v>^*$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... waarschijnlijkheid⁴

Merk op dat in het geval van een complexe toestandsfunctie deze waarschijnlijkheid gegeven wordt door $\psi^*\psi dx$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... plaats⁵

Merk op dat men meestal de operator ${\bf E} \equiv i\hbar {\partial \over \partial t}$ aantreft, die van onze definitie verschilt in een minteken. Later in dit college zal uitgelegd worden waar deze keuzemogelijkheid vandaan komt.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... deel⁶

Merk op dat $y$ een reëel getal is.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... aangetroffen⁷

Als we de notatie $\psi = x+iy$ gebruiken, dan volgt direct dat $\psi^* \psi = x^2+y^2 \geq 0 !$ en zien we dat deze kans altijd reëel en positief is.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... werkt⁸

De kracht wordt gegeven door $F=-{\partial V(x,t) \over \partial x}$ en voor een constante potentiaal werkt er geen kracht op het deeltje.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossing⁹

Een tweede-orde differentiaalvergelijking van het type

$${d^2 \psi \over dx^2} = -K^2 \psi$$ (122)

heeft voor $K^2 \geq 0$ als meest algemene oplossing de functie

$$\psi = Ae^{iKx} + Be^{-iKx} .$$ (123)

Hierbij zijn $A$ en $B$ constanten.

Als geldt dat $K^2 < 0$, dan kan de meest algemene oplossing geschreven worden als

$$\psi = Ae^{Kx} + Be^{-Kx} .$$ (124)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossing¹⁰

Merk op dat vanwege $E<V_0$ we nu te maken hebben met geval $K^2 < 0$! Zie ook de opmerkingen in voetnoot 4.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossing¹¹

Merk op dat vanwege $E>V_0$ we nu te maken hebben met geval $K^2>0$! Zie ook de opmerkingen in voetnoot 4.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... waarschijnlijkheidsflux¹²

We interpreteren $\psi^* \psi$ als waarschijnlijkheidsdichtheid. Met deze interpretatie kunnen we een nieuwe locale grootheid invoeren die de stroming (flux) van de waarschijnlijkheid aangeeft. We beschouwen eerst de vergelijkingen voor vrije deeltjes die beschreven worden door de golffuncties $\Psi (x,t)$ en $\Psi^* (x,t)$. Er geldt

$$-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \over \partial x^2} \Psi = i\... ...ial x^2} \Psi^* = -i\hbar {\partial \over \partial t} \Psi^* .$$ (151)

Merk op dat beide vergelijkingen gerelateerd zijn door complexe conjugatie. We gebruiken deze uitdrukkingen om de tijdsafhankelijkheid van de waarschijnlijkheidsdichtheid van een vrij deeltje te analyseren.

$$\begin{array}{rl} {\partial \over \partial t} \left( \Psi^* ... ...\Psi^* \over \partial x} \Psi \right) \right] . \\ \end{array}$$ (152)

Deze vergelijking kan herschreven worden tot

$${\partial \over \partial t} P (x,t) + {\partial \over \partial x} j (x,t) =0.$$ (153)

Bovenstaande vergelijking drukt het behoud van waarschijnlijkheid in de tijd uit. Elke verandering in de tijd van de waarschijnlijkheidsdichtheid in een locaal gebied wordt gecompenseerd door een flux van waarschijnlijkheid in of uit dat locale gebied. Hiermee wordt ook de waarschijnlijkheidsflux geïntroduceerd, waarvoor geldt

$$j(x,t) = {\hbar \over 2im} \left( \Psi^* {\partial \Psi \over \partial x} - {\partial \Psi^* \over \partial x} \Psi \right) .$$ (154)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... worden¹³

Een elegante manier om deze uitdrukkingen af te leiden, is door gebruik van matrixnotatie. Er geldt

$$\left( \begin{array}{c} {\partial \over \partial r} \\ \\ ... ...} \\ \\ {\partial \over \partial z} \\ \end{array}\right) .$$ (200)

We kunnen deze matrix inverteren en verkrijgen op deze wijze uitdrukkingen voor de operatoren ${\partial \over \partial x}$, ${\partial \over \partial y}$ en ${\partial \over \partial z}$. Er geldt

$$\left( \begin{array}{c} {\partial \over \partial x} \\ \\ ... ...\ \\ {\partial \over \partial \phi} \\ \end{array}\right) .$$ (201)

We kunnen de juistheid van bovenstaande uitdrukking controleren door de twee matrices te vermenigvuldigen, waarbij het resultaat de eenheidsmatrix dient te zijn. Vervolgens is het mogelijk de componenten van ${\bf \vec L}$ te berekenen. Bijvoorbeeld hebben we ${\bf L_x} = yp_z - zp_y = {\hbar \over i} \left( y {\partial \over \partial z} -z {\partial \over \partial y} \right)$, waarbij we de geïnverteerde matrix gebruiken als we de afgeleiden invullen.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vectoren¹⁴

Als we deze stelling toepassen op operatoren, dan dienen we rekening te houden met de volgorde van de operatoren. Dit omdat de componenten van de operatoren ${\bf \vec r}$ en ${\bf \vec p}$ niet commuteren. Er geldt $[ r_i , p_j ]=r_ip_j - p_jr_i = i\hbar \delta_{ij}$.

$${\bf \vec L}^2 \equiv ({\bf \vec r} \times {\bf \vec p})\cdo... ...dot{\bf \vec p})^2 +i\hbar ({\bf \vec r} \cdot {\bf \vec p}) .$$ (204)

We gebruiken verder de relatie ${\bf \vec r}\cdot{\bf \vec p}= {\bf r p_r}+i\hbar$ en vinden hiermee het gewenste resultaat.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossen¹⁵

De differentiaalvergelijking

$$-{1 \over \sin{\theta}} {{\rm d} \over {\rm d}\theta} \left(... ...rm d} \theta} \right)+ {m_l^2 g \over \sin{\theta}} = l(l+1) g$$ (232)

kan worden opgelost door aan te nemen dat de oplossing geschreven kan worden als een machtreeks,

$$g= \sum_{l=0}^\infty a_lu^l \equiv a_0 + a_1u + a_2 u^2 +a_3 u^3 + ....$$ (233)

Er geldt dan voor de eerste afgeleide

$${dg \over du} = \sum_{l=1}^\infty l a_l u^{l-1} \equiv 1a_1 + 2a_2 u + 3a_3 u^2 + ....$$ (234)

en voor de tweede afgeleide

$${d^2g \over du^2} = \sum_{l=2}^\infty (l-1)l a_l u^{l-2} \equiv + 1 \cdot 2a_2 + 2 \cdot 3a_3 u + 3 \cdot 4 a_4 u^2 + ....$$ (235)

We substitueren deze uitdrukkingen in de differentiaalvergelijking en stellen de eis dat de individuele coëfficienten voor elke macht van $u$ gelijk aan nul dienen te zijn. Dit levert een recursierelatie en de algemene oplossing, waarbij $u=\cos{\theta}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... (gereduceerde¹⁶

De gereduceerde massa voor een twee-deeltjessysteem is gegeven door $m=m_1m_2/m_1+m_2$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.