Eigenfuncties en Eigenwaarden

Een operator heeft op een functie, net zoals een matrix dat heeft op een vector, in het algemeen twee acties: hij strekt de functie (verandert de lengte) en hij roteert de functie (verandert de richting). Voor deze rotatie zijn er bij oneindig veel dimensies buitengewoon veel mogelijkheden. Van belang zijn vooral die gevallen waarbij een rotatie achterwege blijft, waarbij de functie ${\bf Af}$ parallel is aan de functie ${\bf f}$,

$${\bf Af} = a{\bf f}.$$ (38)

Functies die door een gegeven operator niet geroteerd worden heten de eigenfuncties van die operator. De bijbehorende waarden van $a$ heten de eigenwaarden van de operator. Als er bij dezelfde eigenwaarde meerdere eigenfuncties horen, dan noemt men die eigenwaarden en eigenfuncties ontaard.

In de quantummechanica is een speciale klasse van operatoren van bijzonder belang: de hermitische operatoren waarvoor geldt

$${\bf Af}\cdot {\bf g} = {\bf f} \cdot {\bf Ag}.$$ (39)

De eigenfuncties en eigenwaarden van hermitische operatoren hebben een aantal belangrijke eigenschappen, bijvoorbeeld dat twee eigenfuncties van een hermitische operator, die horen bij verschillende eigenwaarden, orthogonaal op elkaar staan. Een hermitische operator, zelfs als die werkt op complexe functies en ook zelf complex is, heeft altijd alleen maar reëele eigenwaarden³. De eerste eigenschap kan eenvoudig bewezen worden: ${\bf f}_1$ en ${\bf f}_2$ zijn eigenfuncties van ${\bf A}$,

$${\bf A}{\bf f}_1 = a_1 {\bf f}_1~~~~~~{\rm en}~~~~~~ {\bf A}{\bf f}_2 = a_2 {\bf f}_2,~{\rm waarbij}~a_1 \neq a_2.$$ (40)

We vormen de scalaire producten door te vermenigvuldigen met ${\bf f}_1$, respectievelijk ${\bf f}_2$,

$${\bf A}{\bf f}_1 \cdot {\bf f}_2 = a_1 {\bf f}_1 \cdot {\bf ... ... A}{\bf f}_2 \cdot {\bf f}_1 = a_2 {\bf f}_2 \cdot {\bf f}_1 .$$ (41)

Het scalaire produkt is commutatief en ${\bf A}$ is hermitisch. Hiermee kunnen we de tweede vergelijking omschrijven tot

$${\bf A}{\bf f}_1 \cdot {\bf f}_2 = a_1 {\bf f}_1 \cdot {\bf ... ... A}{\bf f}_1 \cdot {\bf f}_2 = a_2 {\bf f}_1 \cdot {\bf f}_2 ,$$ (42)

en vinden door aftrekken

$$(a_1 - a_2) {\bf f}_1 \cdot {\bf f}_2 = 0.$$ (43)

Omdat $a_1 \neq a_2$ moet gelden dat ${\bf f}_1 \cdot {\bf f}_2 = 0$, en dus dat ${\bf f}_1 \perp {\bf f}_2$. De eigenfuncties van de meest voorkomende hermitische operatoren hebben behalve hun orthogonaliteit nog de belangrijke eigenschap van volledigheid: men kan elke willekeurige functie ontwikkelen in deze eigenfuncties, net zoals men functies kan Fourier-ontwikkelen naar de eveneens orthogonale functies $\sin{nx}$ en $\cos{nx}$. Op deze generalisatie van de Fourier-ontwikkeling berusten de meeste benaderingsmethoden die bebruikt worden in de quantummechanica.