next up previous
Next: Eigenfuncties en Eigenwaarden Up: Wiskundig Intermezzo Previous: Vectoren en Functies

Matrices en Operatoren

Een quadratische matrix kan voorgesteld worden door een quadratisch getallenschema. Bijvoorbeeld voor $n=3$,

\begin{displaymath}
{\bf M} = m_{ik} = \left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12}...
... & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{array}\right).
\end{displaymath} (35)

De belangrijkste matrixoperatie is de vermenigvuldiging met een vector ${\bf a}$. Het resultaat van deze operatie is een andere vector: ${\bf b} = {\bf Ma} = m_{ik}a_k$, waarbij deze vector ${\bf b}$ als componenten $b_{i} = \sum_{k=1}^n m_{ik}a_k$ heeft. De component $i$ is het scalaire produkt van rij $i$ van de matrix met de vector ${\bf a}$.

Men kan ook stellen dat de matrix ${\bf M}$ uit de vector ${\bf a}$ een andere vector ${\bf b}$ genereert. Preciezer geformuleerd is de matrix een lineaire vectorfunctie. Hiermee wordt bedoeld dat net zoals een functie ${\bf f}$ aan elk getal $x$ een ander getal $f(x)$ toevoegt, voegt een matrix aan elke vector ${\bf a}$ een andere vector ${\bf b} = {\bf Ma}$ toe. Lineair betekent in dit verband dat in het algemeen geldt dat

\begin{displaymath}
{\bf M} ({\bf a}+{\bf b}) = {\bf Ma} + {\bf Mb}.
\end{displaymath} (36)

Een operator is voor functies hetzelfde als een matrix is voor vectoren. Een operator ${\bf A}$ genereert uit elke functie ${\bf f}$ een andere functie ${\bf g} = {\bf Af}$. Preciezer geformuleerd voegt een lineaire operator aan elke functie ${\bf f}$ een andere functie ${\bf g} = {\bf Af}$ toe, waarbij

\begin{displaymath}
{\bf A} ({\bf f}_1+{\bf f}_2) = {\bf Af}_1 + {\bf Af}_2.
\end{displaymath} (37)

Andere voorbeelden van operatoren worden gegeven in tabel 2.


Table 2: Enkele voorbeelden van operatoren die werken op een functie en hieruit een nieuwe functie genereren.
Voorbeeld Actie
Additie van een constante ${\bf Af} = {\bf f}+a$
Vermenigvuldiging met een constante ${\bf Af} = a{\bf f}$
Vermenigvuldiging met $x$ ${\bf Af} = x{\bf f}$
Differentiëren naar $x$ ${\bf Af} = {d \over dx} {\bf f}$
Integraaloperator met `kernel' $K(x,x^\prime )$ ${\bf Af} = \int K(x,x^\prime )f(x^\prime ) dx^\prime =g(x)$


next up previous
Next: Eigenfuncties en Eigenwaarden Up: Wiskundig Intermezzo Previous: Vectoren en Functies
Jo van den Brand
2000-10-21