Er zijn vele manieren om quantummechanica te leren: historisch, empirisch, Hamiltonisch, axiomatisch enz. We kiezen hier de axiomatische wijze omdat die het snelst tot een nivo leidt waarbij we de belangrijkste elementaire problemen te lijf kunnen gaan. De grootste hindernis is het overwinnen van de abstracte en ongewone taal. We zullen hier beginnen met de benodigde wiskundige achtergrond.
David Hilbert heeft ingezien dat functies zich formeel net zo gedragen als vectoren. Dit kan men logisch aannemelijk maken door te bewijzen dat functies voldoen aan dezelfde axiomas als vectoren, waaruit dan alle eigenschappen van de vectorruimte volgen. De functies bouwen ook een dergelijke ruimte op, die de Hilbertruimte genoemd wordt.
Een functie wordt gedefinieerd door aan elke
waarde van het argument
(meestal met
)
een getal toe te voegen, dat de functiewaarde
voorstelt.
Twee functies en
kunnen worden opgeteld tot
een nieuwe functie
, indien men voor elk argument
de
functiewaarde
en
optelt en de som gelijk stelt aan
.
![]() |
(29) |
Het scalaire produkt van twee functies en
wordt verkregen door voor elk argument
de functiewaarden
te vermenigvuldigen. De integraal van al deze produkten wordt het scalaire
produkt2 genoemd,
![]() |
(30) |
![]() |
(31) |
![]() |
(32) |
![]() |
(33) |
![]() |
(34) |