Deeltje in de Coulomb Potentiaal

We beschouwen de beweging van een elektron met (gereduceerde¹⁶) massa $m$ onder invloed van de Coulomb potentiaal

$$V = V(r) = -{Ze^2 \over 4\pi\epsilon_o}{1 \over r},$$ (251)

met $r$ de afstand van het elektron met lading $-e$ tot de kern met lading $+Ze$. We veronderstellen dat de kern zich in de oorsprong bevindt. Invullen van de Coulomb potentiaal in de Schrödingervergelijking levert

$$\left[ -{\hbar^2 \over 2m}\Delta_r -{Ze^2 \over 4\pi\epsilon_0r} \right] \psi (\vec r) =E\psi (\vec r) .$$ (252)

We stellen $\psi (\vec r) = \psi (r,\theta ,\phi ) = \chi_l(r) \cdot Y_l^m(\theta ,\phi )$ en vinden dan voor de radiële golffunctie de differentiaalvergelijking

$$-{\hbar^2 \over 2mr}{d^2 \over dr^2}r\chi -{Ze^2 \over 4\pi\epsilon_0r} \chi + {\hbar^2 \over 2mr^2}l(l+1)\chi = E\chi .$$ (253)

We zien in bovenstaande vergelijking dat de Coulomb potentiaal aantrekkend is, terwijl de $l(l+1)$-`potentiaal' altijd afstotend is. Dit is weergegeven in Fig. 25.

Figure 25: De effectieve potentiaal in de Schrödingervergelijking voor een aantrekkende Coulomb potentiaal en $l \geq 1$.

Vervolgens definiëren we de dimensieloze variabelen

$$r = a\rho ={4\pi \epsilon_0 \hbar^2 \over Ze^2 m} ~\rho ~~~~... ...~~~~ E=-{m \over m_e} Z^2E_0\eta = -{\hbar^2 \over 2ma^2}\eta.$$ (254)

De radiële vergelijking simplificeert nu tot

$${{\rm d}^2 \over {\rm d}\rho^2} \rho \chi +2\chi -{l(l+1) \over \rho} \chi = \eta \rho \chi .$$ (255)

We verwachten dat de oplossingen exponentieel gedempt zijn voor $\rho \rightarrow \infty$. We introduceren daarom een nieuwe functie

$$\chi = e^{-\sqrt{\eta}\rho} {F(\rho) \over \rho}.$$ (256)

Dit leidt uiteindelijk tot de differentiaalvergelijking

${{\rm d}^2F \over {\rm d}\rho^2} -2\sqrt{\eta}{{\rm d}F \over {\rm d}\rho} +\eta F +{2 \over \rho}F - {l(l+1) \over \rho^2} F = \eta F ,$

waarbij dient te gelden dat $F(0)=0$. Bovenstaande differentiaalvergelijking kan weer opgelost worden door aan te nemen dat de oplossing als een machtreeks kan worden geschreven. We vinden dan als oplossing

$$\chi_{nl}=e^{-\rho /n} {F_{nl}(\rho ) \over \rho} ~~~~{\rm met}~~~~\rho={r \over a}$$ (257)

en Fig. 26 toont enkele radiële waarschijnlijkheidsdichtheden voor het waterstofatoom.

Figure 26: De radiële waarschijnlijkheidsdichtheid voor het elektron in het waterstofatoom voor diverse quantumgetallen $n$ en $l$.

We noemen de integer $n$ het hoofdquantumgetal, waarbij $n$ de energie van de toestand bepaald

$$E_{nl} = -{m \over m_e} Z^2 {E_0 \over n^2} =E_n^{\rm Bohr}~... ...( {e^2 \over 4\pi \epsilon_0} \right)^2 {m_e \over 2\hbar^2} .$$ (258)

We constateren dat voor de Coulomb potentiaal, net als voor elke andere potentiaal die tot gebonden toestanden leidt, de toegestane energieën van een deeltje dat zich beweegt in deze potentiaal discreet gequantiseerd is. De energieniveaus worden getoond in Fig. 27.

Figure 27: De laagste energieniveaus $E_n$ van het waterstofatoom corresponderen met de energieeigenwaarden van de hamiltoniaan.

De laagste-orde radiële golffuncties van een één-elektron atoom kunnen expliciet geschreven worden als

$$\begin{array}{lll} n=1~~~~~ & l=0~~~~~ & \chi_{10} = {2 \ove... ...{30a^3}}\rho^2 e^{-{\rho \over 2}}, \\ & ... & \\ \end{array}$$ (259)

Figure 28: Spectra voor het normale Lorentz triplet in zink en het anomaal Zeeman effect in kalium en in zink.

Tenslotte tonen we in Fig. 28 de experimentele observatie van de opsplitsing van de spectraallijnen van diverse elementen in een zwak magnetisch veld. Het verband tussen de structuur van de multipletten en het periodiek systeem leidde tot de uiteindelijke ontdekking van spin. Wolfgang Pauli kende deze eigenschap toe aan het elektron, waarbij hij twee waarden van spin toeliet. Dit betekende effectief het invoeren van een vierde quantumgetal in de beschrijving van elk atomair elektron.