Centrale Vierkante Potentiaal Put

We nemen aan dat ergens in het interval $(0 <r<\infty )$ een gebied bestaat met een constante potentiaal, $V(r) = {\rm constant} = V_0$. De radiële vergelijking neemt dan de volgende vorm aan

$$\left[-{\hbar^2 \over 2m}{d^2 \over dr^2} + {l(l+1) \over 2mr^2}\hbar^2 +V_0 \right] y_l(r) = Ey_l(r) .$$ (242)

Voor de energie van het deeltje nemen we $E>V_0$ en definiëren

$$k = {\sqrt{2m(E-V_0)} \over \hbar}~~~~{\rm en}~~~~\rho = kr .$$ (243)

Hiermee kunnen we de radiële vergelijking schrijven als

$$\left[{d^2 \over d\rho^2} + \left( 1- {l(l+1) \over \rho^2}\right) \right] y_l(\rho ) = 0 .$$ (244)

Oorspronkelijk hadden we voor de radiële golffunctie $y_l(r) = r\chi_l(r)$ en we kunnen dus schrijven $f_l(\rho )\times r = y_l(\rho )$. Aldus vinden we

$$\left[{d^2 \over d\rho^2} + {2 \over \rho}{d \over d\rho}+ \left( 1- {l(l+1) \over \rho^2}\right) \right] f_l(\rho ) = 0 .$$ (245)

Bovenstaande vergelijking staat in de functietheorie bekend als de sferische Bessel differentiaalvergelijking, die als oplossingen de sferische Besselfuncties heeft. De algemene oplossing van vergelijking (245) is een lineaire combinatie van twee particuliere oplossingen. De meest gebruikelijke particuliere oplossingen zijn

$$\begin{array}{lll} j_l & {\rm reguliere~oplossing} & (j \rig... ... {\rm functie~van~Hankel~van~de~tweede~orde}. & \\ \end{array}$$ (246)

Fig. 24 toont enkele van de reguliere Besselfuncties.

Figure 24: Reguliere Besselfuncties die het radiële deel van de golffunctie beschrijven van een deeltje dat zich in een constante potentiaal beweegt.

Deze functies zijn gedefinieerd als

$$j_l(\rho )=\sqrt{\pi \over 2 \rho} J_{l+{1 \over 2}} (\rho )... ... )=(-)^l \sqrt{\pi \over 2 \rho} J_{-l-{1 \over 2}} (\rho ) ,$$ (247)

en

$$h_l^{(\pm )}(\rho )=n_l(\rho ) \pm {\rm i} j_l(\rho ) ,$$ (248)

met $J_\nu$ de normale Besselfunctie van de orde $\nu$. Merk op dat $j_l$ en $n_l$ reëele functies zijn, terwijl geldt dat $h_l^{(-)} = h_l^{(+)*}$.

De laagste-orde Besselfuncties zijn

$$\begin{array}{lll} j_0 = {\sin{\rho} \over \rho}, & n_0 = {\... ...over \rho} \right) {e^{\pm i \rho} \over \rho}. \\ \end{array}$$ (249)

Voor kleine $\rho$ geldt

$$\begin{array}{ll} \lim_{\rho \rightarrow 0} j_l(\rho ) \prop... ...o^{l+1}} & {\rm irregulier~(een~pool~\infty }). \\ \end{array}$$ (250)

De enige radiële functie die gebonden blijft als $r \rightarrow \infty$ is de Hankelse functie $h_l^{(+)}$.

Tenslotte merken we op dat we nu ook een vergelijking kunnen vinden voor de golffunctie van een vrij deeltje uitgedrukt in sferische coördinaten. Er geldt onderstaande expansie van een vlakke golf

$e^{ikz} \equiv e^{ikr\cos{\theta}} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1) {\rm i}^l j_l(kr) P_l(\cos{\theta})$.