Operatoren voor Impulsmoment

We weten uit de klassieke mechanica dat het impulsmoment van een deeltje gedefinieerd is als $\vec L \equiv \vec r \times \vec p$ en we construeren daarom de quantummechanische operator op analoge wijze

$${\bf\vec L} \equiv {\bf\vec r} \times {\bf\vec p} = {\hbar \over i} ( {\bf\vec r} \times \nabla ).$$ (193)

In een cartesisch coördinatensysteem kunnen de operatoren voor de drie componenten van het impulsmoment van een deeltje geschreven worden als

$$\begin{array}{ll} {\bf L_x} & = -i\hbar \left( y{\partial \o... ...tial y} - y{\partial \over \partial x} \right). \\ \end{array}$$ (194)

In een sferisch coördinatenstelsel hebben de operatoren de volgende vorm

$$\begin{array}{ll} {\bf L_x} & = i\hbar \left( \sin{\phi }{\p... ..._z} & = -i\hbar {\partial \over \partial \phi}. \\ \end{array}$$ (195)

We zullen tonen dat de uitdrukkingen (194) en (195) equivalent zijn. Hiervoor maken we gebruik van de relaties (184). Er geldt

$${\partial \psi \over \partial \phi} = {\partial \psi \over \... ...rtial \psi \over \partial z}{\partial z \over \partial \phi} .$$ (196)

We vinden met behulp van de relaties (184)

$$\begin{array}{ll} {\partial x \over \partial \phi} & = -r \s... ...\ & \\ {\partial z \over \partial \phi} & = 0 \\ \end{array}$$ (197)

en dus

$${\partial \psi \over \partial \phi} = -y{\partial \psi \over \partial x} + x{\partial \psi \over \partial y}.$$ (198)

We kunnen dit schrijven als een operatorvergelijking en vinden

$${\bf {\partial \over \partial \phi} = -y{\partial \over \partial x} + x{\partial \over \partial y}},$$ (199)

waarmee we de equivalentie hebben aangetoond van de twee uitdrukkingen voor ${\bf L_z}$ gegeven in vergelijking (194) en (195). De uitdrukkingen voor ${\bf L_x}$ en ${\bf L_y}$ kunnen op analoge wijze afgeleid worden¹³.

In cartesische coördinaten kan de operator voor het kwadraat van de grootte van het impulsmoment gevonden worden uit

$${\bf\vec L}^2 = {\bf L_x}^2 + {\bf L_y}^2 + {\bf L_z}^2 .$$ (202)

We kunnen de uitdrukking voor ${\bf\vec L}^2$ in een sferisch stelsel vinden met enige algebra en krijgen

$${\bf\vec L}^2 = -\hbar^2 \left[ {1 \over \sin{\theta}}{\part... ...er \sin^2{\theta}}{\partial^2 \over \partial \phi^2} \right] .$$ (203)

Merk op dat we hier de vorm herkennen van de tweede en derde term in uitdrukking (183) voor de Laplace operator in sferische coördinaten. Vervolgens gebruiken we een stelling voor vectoren¹⁴, waarbij het uitproduct van twee vectoren geschreven kan worden als $(\vec a \times \vec b)^2 = a^2b^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2$, en we passen deze stelling toe op de norm van de operator van het impulsmoment. We vinden nu de belangrijke operatorvergelijking

$${\bf\vec p}^2 = {\bf p_r}^2 +{{\bf\vec L}^2 \over r^2} ~~~~~~~~~(r \neq 0).$$ (205)

We kunnen de Schrödingervergelijking in sferische coördinaten schrijven als

$$-{\hbar^2 \over 2m} \left( {1 \over r}{\partial^2 \over \par... ...rtial^2 \over \partial \phi} \right) \psi + V(r) \psi = E\psi$$ (206)

en kunnen dit met behulp van vergelijkingen (203) en (208) beknopter weergeven als

$$-{1 \over 2m} \left( {\bf p_r}^2 + {{\bf\vec L}^2 \over r^2} \right) \psi + V(r) \psi = E\psi ,$$ (207)

waarbij ${\bf p_r}$ de radiële component is van de impulsoperator in sferische coördinaten. We hebben

$${\bf p_r} \equiv {\hbar \over i}{1 \over r}{\partial \over \... ... i} \left( {\partial \over \partial r} + {1 \over r} \right) .$$ (208)

We zullen nu de operatoren voor het impulsmoment van een deeltje nader beschouwen. We zien in vergelijking (194) dat de componenten zijn uitgebouwd uit commuterende hermitische operatoren. Daarom zal ${\bf\vec L}$ ook hermitisch zijn. We kunnen nu de commutatierelaties uitrekenen voor de componenten van de operator voor het impulsmoment. We vinden

$${\bf L_xL_y} - {\bf L_yL_x} = i\hbar{\bf L_z}, ~~~ {\bf L_yL... ...r{\bf L_x}, ~~~ {\bf L_zL_x} - {\bf L_xL_z} = i\hbar{\bf L_y},$$ (209)

We kunnen dit afkorten tot

$${\bf\vec L \times \vec L} = i\hbar{\bf\vec L}, ~~~~{\rm of~ook~als}~~~~ [{\bf L_i,L_j}] = i\hbar \epsilon_{ijk} {\bf L_k}.$$ (210)

Hierbij is $\epsilon_{ijk}$ de volledig antisymmetrische tensor in drie dimensies gegeven door

$$\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{array}{ll} +1 & {\rm als}~i,... ... als~twee~of~meer~indices~gelijk~zijn}. \\ \end{array}\right.$$ (211)

Dit betekent dat de componenten van het impulsmoment van een deeltje niet allemaal op dezelfde tijd meetbaar zijn. De operator van het kwadraat van het impulsmoment van een deeltje commuteert met alle componenten van de operator van het impulsmoment. Er geldt

$$[{\bf\vec L^2,L_x}]= [{\bf\vec L^2,L_y}] = [{\bf\vec L^2,L_z}] = 0.$$ (212)

De operator voor impulsmoment commuteert ook met de hamiltoniaan en er geldt dus

$$[ {\bf\vec L},{\bf H} ]=0 .$$ (213)

Verder weten we dat de hamiltoniaan opgebouwd is uit de operatoren ${\bf p_r}$ en ${\bf\vec L}^2$, en commuteert met de operatoren ${\bf\vec L}^2$ en ${\bf L_z}$. Er geldt

$$[ {\bf H}, {\bf\vec L}^2 ]=0 ~~~~~{\rm en}~~~~ [ {\bf H}, {\bf\vec L_z} ] =0 .$$ (214)

We hebben hiermee dus minstens een gemeenschappelijke basis voor ${\bf H}$, ${\bf\vec L}^2$ en ${\bf L_z}$.