Wiskundig Intermezzo

De Laplace operator is een ingrediënt van de Schrödingervergelijking en wordt in een cartesisch coördinatensysteem geschreven als

$$\Delta = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial x^2} ,$$ (182)

terwijl in een sferisch coördinatensysteem geldt dat

$$\Delta = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left( r^2... ...\left( \sin{\theta} {\partial \over \partial \theta} \right) .$$ (183)

Figure 20: De sferische coördinaten $r$, $\theta$ en $\phi$ van een punt $P$ en de bijbehorende cartesische coördinaten $x$, $y$ en $z$.

De coördinaten in beide stelsels staan met elkaar in verband volgens

$$\begin{array}{lll} x & = & r \sin{\theta}\cos{\phi}, \\ & &... ...\sin{\phi}, \\ & & \\ z & = & r \cos{\theta}. \\ \end{array}$$ (184)

Verder geldt de relatie

$$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$ (185)

We kunnen de eerste term van de Laplace operator in sferische coördinaten vinden door aan te nemen dat de golffunctie enkel een functie is van $r$ en dus geldt $\psi = \psi (r)$. Met behulp van de kettingregel vinden we dan

$${\partial \psi \over \partial x} = {\partial r \over \partia... ...ver \partial r} = {x \over r}{\partial \psi \over \partial r},$$ (186)

terwijl voor de tweede-orde afgeleide geldt

$${\partial^2 \psi \over \partial x^2} = {\partial \over \part... ... r} \left( {1 \over r}{\partial \psi \over \partial r} \right)$$ (187)

en dus

$${\partial^2 \psi \over \partial x^2} = {1 \over r}{\partial ... ...r} \left( {1 \over r}{\partial \psi \over \partial r} \right).$$ (188)

Op dezelfde manier kunnen we de afgeleiden naar $y$ en $z$ uitrekenen en vinden

$${\partial^2 \psi \over \partial y^2} = {1 \over r}{\partial... ...} \left( {1 \over r}{\partial \psi \over \partial r} \right) .$$ (189)

Als we de laatste drie vergelijkingen optellen, dan vinden we

$$\Delta \psi (r) = {3 \over r}{\partial \psi \over \partial r... ...} \left( {1 \over r}{\partial \psi \over \partial r} \right) .$$ (190)

We kunnen bovenstaande vergelijking omschrijven tot

$$\Delta \psi (r) = {3 \over r}{\partial \psi \over \partial r... ...psi \over \partial r} + {\partial^2 \psi \over \partial r^2} .$$ (191)

Hiermee hebben we de eerste term van de Laplace operator in sferische coördinaten gevonden. In de afleiding hebben we aangenomen dat de golffunctie enkel een functie is van $r$, dus geldt $\psi = \psi (r)$. Merk op dat

$$\Delta \psi (r) = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \... ...psi \over \partial r} + {\partial^2 \psi \over \partial r^2} .$$ (192)

De tweede en derde term in de uitdrukking voor de Laplace operator in sferische coördinaten kunnen we vinden door eerst $\psi = \psi (\theta )$ en vervolgens $\psi = \psi (\phi )$ aan te nemen. We zullen in het vervolg echter een andere manier gebruiken om ons doel te bereiken.