Complexe Grootheden

We definiëren de imaginaire eenheid als $i^2 \equiv -1$ en hiermee geldt $i = \sqrt{-1}$. Een complex getal wordt nu geschreven als

$$z \equiv x+iy,$$ (79)

waarbij $x={\rm Re}~z$ het reëele deel en $y={\rm Im}~z$ het imaginaire deel⁶ van $z$ is. Verder geldt er dezelfde algebra als voor gewone getallen. Bijvoorbeeld hebben we $z_1=z_2$ als $x_1=x_2$ en $y_1=y_2$.

De complex geconjugeerde van $z=x+iy$ duiden we aan met $z^*$ en er geldt

$$z^* \equiv x-iy,~~~~~{\rm complex~geconjugeerde~van~}z.$$ (80)

Hiermee geldt

$$z^*z = (x-iy)(x+iy)=x^2-i^2y^2-ixy+ixy=x^2-i^2y^2=x^2+y^2.$$ (81)

Dit doet direct denken aan de stelling van Pythagoras. We zien hier de definitie van het inprodukt voor complexe getallen. Fig. 10 geeft hiervan een geometrische voorstelling in het complexe vlak.

Figure 10: Representatie van het complexe getal $z$ door het punt met label $P$ in het complexe vlak.

Het complexe vlak wordt gevormd door de reëele en imaginaire as. We kunnen het getal $z$ voorstellen door het punt $P$ met cartesische coördinaten $x = r\cos{\alpha}$ en $y = r\sin{\alpha}$, waarbij men $r$ de modulus en $\alpha$ de fase noemt. Er geldt dan dat $r^2 = x^2 +y^2$ en dus

$$z = r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha}) ~~~~{\rm en}~~~~z^*z = r^2 = x^2+y^2.$$ (82)

Fig. 11 geeft de rotatie weer in het complexe vlak van punt $P$ over een kleine hoek $d\alpha$. We merken op dat

$$dz = izd\alpha \rightarrow {dz \over z}=id\alpha .$$ (83)

Integratie levert

$$\int_{z_{\rm begin}}^{z_{\rm eind}} {dz \over z}=i\int_0^\al... ...a ~~\rightarrow ~~ z_{\rm eind} = z_{\rm begin} ~e^{i\alpha} .$$ (84)

Figure 11: Rotatie over een infinitesimale hoek $d\alpha$ van het punt met label $P$ in het complexe vlak.

We nemen vervolgens $r=1$ en dus $z_{\rm begin} = 1$ en vinden $z_{\rm eind} = \cos{\alpha} +i\sin{\alpha}$. Vergelijken van beide resultaten geeft de stelling van Euler,

$$e^{i\alpha} = \cos{\alpha} +i\sin{\alpha} .$$ (85)

Uit een rotatie in negatieve zin vinden we

$$e^{-i\alpha} = \cos{\alpha} -i\sin{\alpha} .$$ (86)

Combineren van de laatste twee vergelijkingen levert de uitdrukkingen

$$\cos{\alpha} = {e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} \over 2} ~~~~{\rm en}~~~~ \sin{\alpha} = {e^{i\alpha} - e^{-i\alpha} \over 2i}.$$ (87)

We kunnen met behulp van de stelling van Euler de complex geconjugeerde definiëren als

$$\left( e^{i\alpha} \right) ^* = e^{-i\alpha} .$$ (88)

Verder geldt ook $r^2 =z^*z=\left( e^{i\alpha}\right) ^* e^{i\alpha} =e^{-i\alpha}e^{i\alpha} = e^0 =1$.

We kunnen de complexe exponent als volgt differentiëren,

$${d e^{i\alpha} \over d\alpha} = ie^{i\alpha} .$$ (89)

Merk op dat we vaak functies als $e^{ikx}$, $e^{i(kx-\omega t)}$ en $e^{-iEt/k}$ zullen gebruiken. We hebben dan bijvoorbeeld

$${d e^{ikx} \over dx} = ike^{ikx} .$$ (90)

Tenslotte merken we op dat de veel voorkomende superpositie van vlakke golven,

$$\psi (x,t) =\cos{(kx-\omega t)} + \gamma \sin{(kx -\omega t)},$$ (91)

met $\gamma = \pm i$ geschreven kan worden als

$$\psi (x,t) =e^{\pm i(kx-\omega t)}.$$ (92)

Deze functies stellen vlakke golven voor van een vrij deeltje met golfgetal $k$ en hoekfrequentie $\omega$.