Plausibiliteitsargumenten en Schrödingervergelijking

Analoog aan de tweede wet van Newton, $F=ma=m{d^2x \over dt^2}$, proberen we nu een differentiaalvergelijking op te stellen waaruit we de toestandsfunctie kunnen afleiden. We zullen deze vergelijking, de Schrödingervergelijking, `afleiden' uit plausibiliteitsargumenten. We stellen dat de Schrödingervergelijking dient te voldoen aan:

• De postulaten van de Broglie en Einstein: $\lambda = {h \over p}$ en $E=h\nu$.
• De vergelijking dient consistent te zijn met de niet-relativistische relatie tussen energie en impuls, $E={p^2 \over 2m}+V$.
• De vergelijking dient verder lineair te zijn in $\psi (x,t)$. Dit betekent dat indien $\psi_1$ en $\psi_2$ oplossingen van de Schrödingerverlijking zijn, dan dient $\psi = c_1\psi_1 +c_2\psi_2$ óók een oplossing hiervan te zijn. Deze eis tot lineariteit maakt toepassing van het superpositieprincipe mogelijk en leidt bijvoorbeeld tot interferentieverschijnselen.
• We gaan er van uit dat in het speciale geval dat de potentiële energie $V(x,t) = V_0$ constant is en er dus geen kracht op het deeltje werkt⁸, we te maken hebben met een vrij deeltje met $\lambda = {h \over p}$ en $\nu = {E \over h}$, waarvan de toestandsfunctie gegeven wordt door een harmonische golf, $\psi (x,t) = \cos{(kx-\omega t)} + \gamma \sin{(kx -\omega t)}$. Energiebehoud levert in dit geval de relatie
  

  $${h^2 \over 2m\lambda^2}+V = h\nu .$$ (97)

  
  
  Gebruikmakend van $k={2\pi \over \lambda}$, $\omega = 2\pi \nu$ en $\hbar = {h \over 2\pi}$ vinden we
  

  $${\hbar^2 k^2 \over 2m}+V = \hbar \omega .$$ (98)

  
  

We weten dat elke partiële afgeleide naar $x$ een factor $k$ oplevert en verwachten dan ook dat de gezochte differentiaalvergelijking een tweede-orde partiële afgeleide naar de plaats bevat. Verder verwachten we een eerste-orde partiële afgeleide naar de tijd (vanwege de factor $\omega$) en schrijven de differentiaalvergelijking dan ook als

$$\alpha {\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V\psi = \beta {\partial \psi \over \partial t}.$$ (99)

Machten van $\psi$ kunnen niet voorkomen in de gezochte vergelijking vanwege de eis dat de Schrödingervergelijking lineair in $\psi (x,t)$ dient te zijn.

We leiden de vergelijking nu af; dat betekent dat we de constanten $\alpha$, $\beta$ en $\gamma$ gaan bepalen, voor het geval dat de potentiële energie constant is, $V(x,t) = V_0$. We proberen dan ook de oplossing

$$\psi (x,t) = \cos{(kx-\omega t)} + \gamma \sin{(kx -\omega t)}.$$ (100)

We berekenen de benodigde partiële afgeleiden,

$$\begin{array}{ll} {\partial \psi \over \partial x} & = -k \s... ...\omega t)} - \omega\gamma \cos{(kx -\omega t)}. \\ \end{array}$$ (101)

Invullen van de tweede-orde afgeleide in vergelijking (99) levert

$$\begin{array}{ll} -\alpha k^2 \cos{(kx-\omega t)} & - \alpha... ... t)} - \beta \omega\gamma \cos{(kx -\omega t)}, \\ \end{array}$$ (102)

ofwel

$$[ -\alpha k^2 +V_0+\beta \omega \gamma ]\cos{(kx-\omega t)} +... ... k^2\gamma +V_0\gamma -\beta \omega ] \sin{(kx -\omega t)} =0.$$ (103)

Bovenstaande gelijkheid kan enkel gelden indien

$$-\alpha k^2 +V_0 = -\beta \omega \gamma~~~~{\rm en}~~~~ -\alpha k^2 +V_0 = {\beta \omega \over \gamma} .$$ (104)

Aftrekken van beide vergelijkingen levert

$$0 = -\beta \omega \gamma -{\beta \omega \over \gamma} ~~~\ri... ...1 \over \gamma},~~~\gamma^2 =-1,~~~\gamma=\pm\sqrt{-1}=\pm i .$$ (105)

Invullen van dit resultaat in vergelijking (104) resulteert in

$$-\alpha k^2 +V_0 = \mp i\beta \omega .$$ (106)

We vergelijken dit met het reeds gevonden resultaat

$${\hbar^2k^2 \over 2m} +V_0 = \hbar \omega$$ (107)

en vinden voor de constanten

$$\alpha = {\hbar^2k^2 \over 2m}~~~~{\rm en}~~~~\mp i\beta = \hbar , ~~~~{\rm of}~~~~\beta = \pm i\hbar .$$ (108)

We zien dat we twee keuzen hebben voor $\beta$. Vanaf nu kiezen we $\underline{\beta = +i\hbar}$ en vinden

$-{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi (x,t) \over \partial x^2} + V(x,t) \psi (x,t) = i\hbar {\partial \psi (x,t) \over \partial t}.$

Deze vergelijking is weer de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking. Merk op dat we aannemen dat het gevonden resultaat ook geldig is indien $V(x,t) \neq V_0$.

We kunnen demonstreren dat de gevonden vergelijking lineair is in $\psi (x,t)$. We nemen aan dat $\psi_1$ en $\psi_2$ voldoen aan de Schrödingervergelijkingen

$$\begin{array}{rl} -{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi_1 (x,t... ...\hbar {\partial \psi_2 (x,t) \over \partial t}. \\ \end{array}$$ (109)

We construeren nu volgens het superpositieprincipe de golffunctie $\psi = c_1\psi_1 +c_2\psi_2$ en verkrijgen

$$\begin{array}{rl} -{\hbar^2 \over 2m}\left( c_1 {\partial^2 ... ...artial \psi_2 (x,t) \over \partial t} \right) = 0 . \end{array}$$ (110)

Dit kan herschreven worden tot

$$c_1 \left[ -{\hbar^2 \over 2m}{\partial^2 \psi_1 \over \part... ...\psi_2 - i\hbar {\partial \psi_2 \over \partial t} \right] =0$$ (111)

en we zien dat inderdaad aan lineariteit is voldaan.