Nulpotentiaal

We nemen aan dat een deeltje beweegt in een constante potentiaal, $V = {\rm constant} = 0$. Er werkt dan geen kracht en we hebben te maken met een vrij deeltje. De eigenfuncties kunnen gevonden te worden uit de eigenwaardevergelijking

$$-{\hbar^2 \over 2m}{d^2 \psi \over dx^2} = E \psi .$$ (121)

De oplossing⁹

$$\psi = Ae^{ikx} + Be^{-ikx} ,$$ (125)

waarbij $Ae^{ikx}$ een harmonische golf voorstelt die zich voortplant in de richting van toenemende $x$, terwijl $Be^{-ikx}$ een golf is die beweegt in de richting van negatieve $x$. We kunnen eenvoudig nagaan dat de oplossing voldoet aan de eigenwaardevergelijking door de tweede-orde afgeleide te berekenen en in te vullen in de vergelijking.

$$\begin{array}{ll} \psi & = Ae^{ikx} + Be^{-ikx} , \\ & \\ ... ...A(ik)^2e^{ikx} + B(ik)^2e^{-ikx} =(ik)^2 \psi . \\ \end{array}$$ (126)

Invullen in vergelijking (121) levert

$$-{\hbar^2 \over 2m} (ik)^2 \psi = E \psi ~~~~\rightarrow ~~~~ E = {\hbar^2 k^2 \over 2m}$$ (127)

en dus

$k = {\sqrt{2mE} \over \hbar}$.

We vinden voor een vrij deeltje met energie $E$ een bijbehorend golfgetal $k$. De energie is niet discreet en een continu spectrum is mogelijk. Er treedt geen quantisatie op.