Stap Potentiaal met $E<V_0$

We nemen aan dat een vrij deeltje zich beweegt in de richting van een constante potentiaal, $V(x) = {\rm constant} = V_0$ voor $x>0$. De energie van het deeltje is kleiner dan de potentiële energie $V_0$. De situatie is geschetst in Fig. 12.

Figure 12: Schematische voorstelling van een vrij deeltje met een energie $E<V_0$ dat gereflecteerd wordt aan een stap-potentiaal.

We schrijven de potentiële energie als

$$V(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x< 0 \\ V_0 & x>0 \\ \end{array}\right.$$ (128)

en kunnen hiermee twee gebieden onderscheiden.

• $x<0$: Hier geldt weer de vergelijking voor een vrij deeltje gegeven door de eigenwaardevergelijking
  

  $$-{\hbar^2 \over 2m}{d^2 \psi \over dx^2} = E \psi$$ (129)

  
  
  met als meest algemene oplossing
  

  $$\psi = Ae^{ik_1x} + Be^{-ik_1x} ,$$ (130)

  
  
  waarbij het golfgetal gegeven wordt door $k_1 = {\sqrt{2mE} \over \hbar}$.
• $x>0$: Hier geldt de vergelijking voor een deeltje dat zich beweegt in potentiaal $V_0$,
  

  $$-{\hbar^2 \over 2m}{d^2 \psi \over dx^2} + V_0 \psi = E \psi$$ (131)

  
  
  met als meest algemene oplossing¹⁰
  

  $$\psi = Ce^{k_2x} + De^{-k_2x} ,$$ (132)

  
  
  waarbij het golfgetal gegeven wordt door $k_2 = {\sqrt{2m(V_0 -E)} \over \hbar}$.

  
  We kunnen een en ander weer controleren door afgeleiden te nemen en die vervolgens in de eigenwaardenvergelijking in te vullen. We vinden
  

  $$\begin{array}{lll} \psi & = & Ce^{k_2x} + De^{-k_2x} , \\ &... ...)^2e^{k_2x} + D(k_2)^2e^{-k_2x} =(k_2)^2 \psi . \\ \end{array}$$ (133)

  
  
  Invullen in vergelijking (131) levert
  

  $$-{\hbar^2 \over 2m} k_2^2 \psi +V_0 \psi = E \psi$$ (134)

  
  
  en dus $k_2 = {\sqrt{2m(V_0 -E)} \over \hbar}$.

We dienen nu na te gaan of de meest algemene oplossingen wel voldoen aan de specifieke randvoorwaarden van dit probleem. We merken op dat in de limiet $x \rightarrow + \infty$ de functie $Ce^{k_2 x}$ naar oneindig gaat, hetgeen in strijd is met een van de eisen aan een golffunctie. Teneinde dit te verhinderen maken we de keuze $C=0$. Als tweede randvoorwaarde onderzoeken we de continuiteit van de functies in het punt $x=0$. Voor de golffunctie geldt dan

$$D\left( e^{-k_2x} \right)_{x=0} = A \left( e^{ik_1x} \right)_{x=0} +B \left( e^{-ik_1x} \right)_{x=0}.$$ (135)

Hieruit vinden we dat geldt $D=A+B$.

Verder dient ook de eerste-orde afgeleide van de golffunctie continu te zijn in het punt $x=0$. Er geldt dus

$$-k_2D\left( e^{-k_2x} \right)_{x=0} = ik_1 A \left( e^{ik_1x} \right)_{x=0} -ik_1B \left( e^{-ik_1x} \right)_{x=0}.$$ (136)

Hieruit vinden we dat geldt ${ik_2 \over k_1}D=A-B$.

Als we bovenstaande uitdrukking combineren met de relatie $D=A+B$ vinden we

$$A = {D \over 2} \left( 1+{ik_2 \over k_1} \right)~~~~{\rm en}~~~~ B = {D \over 2} \left( 1-{ik_2 \over k_1} \right) .$$ (137)

Dus voor $E<V_0$ vinden we de eigenfunctie

$$\psi (x) = \left\{ \begin{array}{ll} {D \over 2} \left( 1+{i... ..._1x}& x<0 \\ & \\ De^{-k_2 x} & x>0 . \\ \end{array}\right.$$ (138)

Merk op dat we de constante $D$ kunnen bepalen door de normering te berekenen,

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi^* \psi dx =1 ;$$ (139)

maar hier zien we op dit moment van af.

We kunnen in de golffunctie voor $x<0$ de twee lopende golven ${\mathcal{A}}e^{ikx}$ en ${\mathcal{B}}e^{-ikx}$ onderscheiden. Met deze schrijfwijze kunnen we de reflectie coëfficient $R$ berekenen.

$$R = {{\rm gereflecteerde~intensiteit} \over {\rm inkomende~i... ..._2 \over k_1}\right)^* \left( 1+{ik_2 \over k_1}\right) } =1 .$$ (140)

We zien dus dat de golf altijd wordt gereflecteerd, net zoals dat het geval is in de klassieke mechanica. Verder merken we op dat er penetratie optreedt van de golf in het klassiek verboden gebied $x>0$! De penetratiediepte wordt gegeven door

$$\Delta x = {1 \over k_2} = {\hbar \over \sqrt{2m(V_0 - E)}} .$$ (141)

Figure 13: Een stap-potentiaal en een deeltje dat wordt voorgesteld door een golfpakket dat reflecteerd aan deze potentiaal. De energie van het deeltje is kleiner dan de hoogte van de stap.

Fig. 13 toont de reflectie van een golfpakket aan een stap-potentiaal. Het golfpakket dient een deeltje voor te stellen. De energie van het deeltje is kleiner dan de hoogte $V_0$ van de stap. De complicaties die optreden in de wiskundige beschrijving van een golfpakket kunnen worden afgeleid uit de gecompliceerde structuur van het golfpakket tijdens de reflectie.