Stap Potentiaal met $E>V_0$

We nemen weer aan dat een vrij deeltje zich beweegt in de richting van een constante potentiaal, $V(x) = {\rm constant} = V_0$ voor $x>0$, maar nu is de energie van het deeltje groter dan de potentiële energie $V_0$. De situatie is geschetst in Fig. 14.

Figure 14: Schematische voorstelling van een vrij deeltje met een energie $E>V_0$ dat gereflecteerd wordt aan een stap-potentiaal.

We onderscheiden weer twee gebieden.

• $x<0$: Hier geldt weer de vergelijking voor een vrij deeltje gegeven door de eigenwaardevergelijking
  

  $$-{\hbar^2 \over 2m}{d^2 \psi \over dx^2} = E \psi$$ (142)

  
  
  met als algemene oplossing
  

  $$\psi = Ae^{ik_1x} + Be^{-ik_1x} ,$$ (143)

  
  
  waarbij het golfgetal gegeven wordt door $k_1 = {\sqrt{2mE} \over \hbar} = {p_1 \over \hbar}$.
• $x>0$: Hier geldt weer de vergelijking voor een deeltje dat zich beweegt in potentiaal $V_0$,
  

  $$-{\hbar^2 \over 2m}{d^2 \psi \over dx^2} = (E - V_0) \psi$$ (144)

  
  
  met als meest algemene oplossing¹¹
  

  $$\psi = Ce^{ik_2x} + De^{-ik_2x} ,$$ (145)

  
  
  waarbij het golfgetal gegeven wordt door $k_2 = {\sqrt{2m(V_0 -E)} \over \hbar} = {p_2 \over \hbar}$. We merken op dat er geen reflectie kan optreden in $x>0$ en er dus ook geen bron is voor een gereflecteerde golf $De^{-ik_2x}$. We kiezen dan ook $D=0$.

Vervolgens dienen we weer na te gaan of de meest algemene oplossingen voldoen aan de specifieke randvoorwaarden van dit probleem. We onderzoeken de continuiteit van de functies in het punt $x=0$. Voor de golffunctie geldt dan

$$A \left( e^{ik_1x} \right)_{x=0} +B \left( e^{-ik_1x} \right)_{x=0} = C \left( e^{ik_2x} \right)_{x=0}.$$ (146)

Hieruit vinden we dat geldt $A+B=C$.

Verder dient ook de eerste-orde afgeleide van de golffunctie continu te zijn in het punt $x=0$. Er geldt dus

$$ik_1 A \left( e^{ik_1x} \right)_{x=0} -ik_1B \left( e^{-ik_1x} \right)_{x=0} = ik_2 C \left( e^{ik_2x} \right)_{x=0} .$$ (147)

Hieruit vinden we dat geldt $k_1 (A-B) = k_2 C$.

Als we bovenstaande uitdrukkingen combineren vinden we

$$B = {k_1 - k_2 \over k_1 + k_2} A~~~~{\rm en}~~~~ C = {2k_1 \over k_1 + k_2} A.$$ (148)

Dus voor $E>V_0$ vinden we de eigenfunctie

$$\psi (x) = \left\{ \begin{array}{ll} A e^{ik_1 x} + A{k_1 - ... ...k_1 \over k_1 + k_2} e^{ik_2 x} & x>0 . \\ \end{array}\right.$$ (149)

We kunnen de constante $A$ weer bepalen door normeren.

We kunnen in de golffunctie voor $x<0$ weer de twee lopende golven ${\mathcal{A}}e^{ikx}$ en ${\mathcal{B}}e^{-ikx}$ onderscheiden, terwijl we aan de doorgelaten golf ($x>0$) de amplitude ${\mathcal{C}}$ toekennen, en berekenen de reflectie coëfficient $R$.

$$R = {{\mathcal{B}}^*{\mathcal{B}} \over {\mathcal{A}}^*{\mat... ...k_1 + k_2}\right) =\left( {k_1 - k_2 \over k_1 + k_2}\right)^2$$ (150)

en zien we dat $R<1$ voor $E>V_0$. Merk op dat in het geval van de klassieke mechanica geldt dat $R=0$.

We zien dus dat er een kans bestaat dat de golf wordt gereflecteerd. De overige waarschijnlijkheid, $T \equiv 1 - R$, betreft de kans dat de golf zich voorplant in de positieve $x$-richting. Dit noemen we de transmissiecoëfficient $T$ . De berekening van $T$ is gecompliceerder, omdat de snelheden in de twee gebieden ($x<0$ en $x>0$) verschillend zijn. Voor de berekening van $T$ gebruiken we het concept van waarschijnlijkheidsflux¹². De waarschijnlijkheidsstroom $j$ geeft een natuurlijke manier om de invallende, gereflecteerde en doorgelaten componenten van de golffunctie te vergelijken. We berekenen $j(x,t)$ eerst in het gebied $x<0$.

$$\begin{array}{rl} j(x,t) & = {\hbar \over 2im} \left( A^*e^{... ...\right) \left( Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x} \right) . \\ \end{array}$$ (155)

Alle kruistermen vallen weg, zodat enkel termen voor inkomende en gereflecteerde golven overblijven. We vinden

$$j(x,t) = {\hbar \over 2im} ik_1 \left( 2{\mathcal{A}}^*{\mat... ...}}^*{\mathcal{B}} = j_{\rm inkomend} + j_{\rm gereflecteerd} .$$ (156)

Merk op dat er een eén-op-eén correspondentie bestaat tussen $j_{\rm inkomend}$ en $\psi_{\rm inkomend}$ en tussen $j_{\rm gereflecteerd}$ en $\psi_{\rm gereflecteerd}$ vanwege het verdwijnen van de kruistermen. De berekening van $j$ voor de doorgelaten golf levert

$$j(x,t) = {\hbar k_2 \over m} {\mathcal{C}}^*{\mathcal{C}} = j_{\rm doorgelaten}.$$ (157)

De transmissie- en reflectiecoëfficienten $T$ en $R$ worden nu als volgt geschreven,

$$T = {j_{\rm doorgelaten} \over j_{\rm inkomend}}~~~~{\rm en}~~~~ R = {j_{\rm gereflecteerd} \over j_{\rm inkomend}}.$$ (158)

Invullen levert

$$T = { {\hbar k_2 \over m} {\mathcal{C}}^*{\mathcal{C}} \over... ... {(2k_1)^2 \over (k_1 + k_2)^2} = {4k_1k_2 \over (k_1+k_2)^2}.$$ (159)

We kunnen laten zien dat op deze wijze we weer hetzelfde resultaat vinden voor $R$, terwijl ook geldt dat $R+T=1$.

Figure 15: Links: waarschijnlijkheidsdichtheid in het geval dat $k_1 = 2k_2$. Rechts: $R$ en $T$ voor een deeltje dat botst met een stap-potentiaal. De situatie $k_1 = 2k_2$ correspondeert met $E/V_0=1.33$.

Fig. 15 toont de reflectie van een golf aan een stap-potentiaal. De linker figuur toont de waarschijnlijkheidsdichtheid in het geval dat $k_1 = 2k_2$. De rechter figuur toont het gedrag van $R$ en $T$ als functie van de verhouding $E/V_0$. Merk op dat het speciale geval $k_1 = 2k_2$ correspondeert met $E/V_0=1.33$.