Tunnel Effect

We nemen weer aan dat een vrij deeltje zich beweegt in de richting van een constante potentiaal, $V(x) = {\rm constant} = V_0$ voor $0<x<a$. De situatie is geschetst in Fig. 16.

Figure 16: Schematische voorstelling van een vrij deeltje dat onderhevig is aan het tunnel effect.

We onderscheiden nu drie gebieden.

• $x<0$ en $x>a$: Hier gelden weer de oplossingen voor een vrij deeltje gegeven door
  

  $$\begin{array}{ll} \psi = Ae^{ik_Ix} + Be^{-ik_Ix} & x<0, \\ \psi = Ce^{ik_Ix} + De^{-ik_Ix} & x>a, \\ \end{array}$$ (160)

  
  
  waarbij het golfgetal gegeven wordt door $k_I = {\sqrt{2mE} \over \hbar}$.
• $0<x<a$: Hier hebben we voor het geval $E<V_0$ weer de oplossing
  

  $$\psi = Fe^{-k_{II}x} + Ge^{k_{II}x} , ~ 0<x<a,$$ (161)

  
  
  waarbij het golfgetal gegeven wordt door $k_{II} = {\sqrt{2m(V_0 -E)} \over \hbar}$. Voor $E>V_0$ vinden we
  

  $$\psi = Fe^{ik_{III}x} + Ge^{-ik_{III}x} ,~0<x<a,$$ (162)

  
  
  waarbij het golfgetal gegeven wordt door $k_{III} = {\sqrt{2m(V_0 -E)} \over \hbar}$.

We merken op dat er in het gebied rechts van de barrière enkel een doorgelaten golf kan bestaan en dus stellen we $D=0$.

In onze analyse beschouwen we nu eerst het geval dat

$$E<V_0$$ (163)

is. De toestandsffunctie en zijn eerste afgeleide dienen weer eindig en continue te zijn op de punten $x=0$ en $x=a$. Hierdoor krijgen we vier vergelijkingen met de willekeurige constanten $A,~B,~C,~F$ en $G$. Deze vergelijkingen kunnen gebruikt worden om $B,~C,~F$ en $G$ uit te drukken in $A$. De waarde van $A$ kan dan weer in principe uit de normering bepaald worden. De waarschijnlijkheidsdichtheid is schematisch weergegeven in Fig. 17.

Figure 17: Typische verdeling van de waarschijnlijkheidsdichtheid $\Psi ^*\Psi$ voor een situatie met tunnel effect.

In het gebied $x<0$ is de golffunctie grotendeels een staande golf, maar bevat een kleine bijdrage van een lopende golf, omdat de gereflecteerde golf een kleinere amplitude heeft dan de inkomende golf. In het gebied $0<x<a$ is de golffunctie een staande golf waarvan de amplitude exponentieel afneemt. Het meest interessant is het de coëfficiënt $T$ uit te rekenen, die de verhouding geeft van de doorgelaten waarschijnlijkheidsflux in het gebied $x>a$ ten opzichte van de inkomende flux. Een berekening geeft

$$T={v_1{\mathcal{C}}^*{\mathcal{C}} \over v_1 {\mathcal{A}}^*... ...E \over V_0} \left( 1- {E \over V_0} \right) } \right]^{-1} ,$$ (164)

waarbij

$$k_{II}a = \sqrt{{2mV_0a^2 \over \hbar^2} \left( 1-{E \over V_0} \right)}.$$ (165)

Voor gevallen waarbij de exponent erg groot is simplificeert de vergelijking tot

$$T \approx 16 {E \over V_0} \left( 1 - {E \over V_0} \right) e^{-2k_{II} a} ~~~~k_{II}a \gg 1 .$$ (166)

Deze vergelijkingen geven een voorspelling van een opmerkelijk feit (gezien vanuit het gezichtpunt van de klassieke mechanica) dat een deeltje met massa $m$ en energie $E$, dat invalt op een barrière met hoogte $V_0 >E$ en eindige dikte $a$, een zekere waarschijnlijkheid $T$ heeft om deze barrière te penetreren. Dit verschijnsel heet het tunnel effect.

We beschouwen vervolgens het geval dat

$$E>V_0$$ (167)

is. We vinden nu voor de transmissiecoëfficiënt $T$

$$T={v_1{\mathcal{C}}^*{\mathcal{C}} \over v_1 {\mathcal{A}}^*... ...E \over V_0} \left( {E \over V_0} -1 \right) } \right]^{-1} ,$$ (168)

waarbij

$$k_{III}a = \sqrt{{2mV_0a^2 \over \hbar^2} \left( {E \over V_0} -1 \right)}.$$ (169)

Figure 18: Reflectie en transmissiecoëfficienten $R$ en $T$ voor een deeltje dat verstrooit aan een barrière met hoogte $V_0$ en dikte $a$, zodanig dat $2mV_0 a^2/\hbar^2 = 9$.

Fig. 18 toont $R$ en $T$ voor een deeltje dat aan een stap potentiaal verstrooid. Merk op dat $R$ en $T$ oscillaties vertonen die veroorzaakt worden door interferenties van de waarschijnlijkheidsgolven door reflecties aan de discontinuiteiten.