Sferische Bessel differentiaalvergelijking

We willen hier laten zien dat het radiële deel van de oplossing van de Schrödingervergelijking voor een centrale vierkante sferische potentiaalput voldoet aan de sferische differentiaalvergelijking van Bessel. Deze uitdrukking is te vinden op bijvoorbeeld http://mathworld.wolfram.com/SphericalBesselDifferentialEquation.html (zie vergelijking (5) aldaar) en luidt

$$r^2{{\rm d}^2R \over {\rm d} r^2} +2r {{\rm d}R \over {\rm d} r} + \left[ k^2r^2 - n(n+1) \right] R = 0.$$ (6)

We beginnen de discussie met vergelijking (454) op bladzijde 96 van het dictaat,

$${{\rm d} \over {\rm d} r} \left( r^2 {{\rm d} \chi \over {... ...\over \hbar^2} \left[ V(r) - E \right] \chi = l(l+1) \chi .$$ (7)

We gaan een deeltje nu opsluiten in een drie-dimensionale put met oneindig hoge potentiaal. Voor de potentiaal geldt

$$V(r) = \left\{ \begin{array}{l} 0, r<a, \\ \infty , r>a. \end{array} \right.$$ (8)

De golffunctie is dan nul buiten de put, terwijl de golffunctie binnen de put gegeven wordt door de radiële vergelijking

$${{\rm d} \over {\rm d} r} \left( r^2 {{\rm d} \chi \over {... ...} r} \right) + {2mr^2 \over \hbar^2}E \chi = l(l+1) \chi .$$ (9)

We kunnen deze vergelijking als volgt herschrijven,

$${{\rm d} \over {\rm d} r} \left( r^2 {{\rm d} \chi \over {\rm d} r} \right) + \left[ {2mr^2 \over \hbar^2}E - l(l+1) \right] \chi = 0$$

$${{\rm d} \over {\rm d} r} \left( r^2 {{\rm d} \chi \over {\rm d} r} \right) + \left[ k^2r^2 - l(l+1) \right] \chi = 0 ~~~~{\rm met}~~~~ k^2 = {2mE \over \hbar^2}$$

$$r^2{{\rm d}^2 \chi \over {\rm d} r^2} + 2r {{\rm d} \chi \over {\rm d} r} + \left[ k^2r^2 - l(l+1) \right] \chi = 0.$$

Bovenstaande uitdrukking heeft inderdaad de vorm van de sferische Bessel differentiaalvergelijking gegeven in uitdrukking (7).