Laguerre polynomen

Oplossingen van de Schrödingervergelijking voor de Coulomb potentiaal, dus oplossingen van het waterstofatoom, kunnen geschreven worden als

$$\psi ({\bf r}) = \psi (r, \theta , \phi ) = \chi_l(r) \cdot Y_l^m(\theta , \phi ).$$ (10)

We zijn hier geïnteresseerd in de radiële golffunctie $\chi_l(r)$ en hebben deze op bladzijde 101, vijfde regel van boven, in het dictaat geschreven als

$$\chi_l(r) = {u(r) \over r}.$$ (11)

Vervolgens hebben we in vergelijking (496) een nieuwe functie geïntroduceerd,

$$u(\rho ) = \rho^{l+1}e^{-\rho}\upsilon (\rho ),$$ (12)

waarbij overigens $\rho = \kappa r$, met $\kappa \equiv {\sqrt{-2mE} \over \hbar}$. De functie $\upsilon (\rho )$ voldoet aan de differentiaalvergelijking van Laguerre. Deze uitdrukking is te vinden op bijvoorbeeld http://mathworld.wolfram.com/LaguerreDifferentialEquation.html (zie vergelijking (2) aldaar) en luidt

$$x{{\rm d}^2y \over {\rm d} x^2} + (\nu +1 -x) {{\rm d}y \over {\rm d} x} + \lambda y = 0.$$ (13)

Deze uitdrukking is van dezelfde vorm als gegeven in vergelijking (499) op bladzijde 102 van het dictaat:

$$\rho {{\rm d}^2 \upsilon \over {\rm d} \rho^2} + 2(l + 1 -... ...{\rm d} \rho} + \left[ \rho_0 -2 (l+1) \right] \upsilon = 0.$$ (14)

De uitdrukkingen voor Laguerre polynomen zijn te vinden op bijvoorbeeld http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html Vergelijking (6) aldaar definieert de Laguerre polynoom als

$$L_n(x) = {e^x \over n!}{d^n \over dx^n}\left( x^n e^{-x} \right) ,$$ (15)

terwijl de geassocieerde Laguerre polynoom door vergelijking (14) aldaar gedefinieerd wordt als

$$L_n^k(x) = (-1)^k {d^k \over dx^k} \left[ L_{n+k} (x) \right] .$$ (16)

Afgezien van de normering (de factor $1/n!$) komen deze uitdrukkingen overeen met die gegeven in het dictaat in vergelijking (533) en (532). Merk op dat in het dictaat dezelfde normering gevolgd wordt als in de boeken `Quantum Mechanics', Albert Messiah (1961); `Introduction to Quantum Mechanics', David J. Griffiths (1994). Op bladzijde 107, zevende regel van beneden, wordt de lezer hierop geattendeerd (`...afgezien van de normering'). Overigens is de normering correct uitgevoerd in de golffuncties gegeven in vergelijking (534) van het dictaat,

$$\psi_{nlm} = \sqrt{ \left( {2 \over na} \right)^3 {(n-l-1)... ...^{2l+1} \left( {2r \over na} \right) Y_l^m (\theta , \phi ).$$ (17)

We herkennen in deze uitdrukking ook het radiële deel van de oplossing, gegeven door

$$\chi_{nl}(r) = {1 \over r}\rho^{l+1} e^{-\rho} \upsilon (\rho ),$$ (18)

met $\upsilon (\rho ) = L_{n-l-1}^{2l+1}$.