Geassocieerde Legendre differentiaalvergelijking

De geassocieerde Legendre differentiaalvergelijking geeft de oplossing van het $\theta$-deel van de hoekafhankelijkheid van de Schrödingervergelijking voor een centrale potentiaal. Deze uitdrukking is te vinden op bijvoorbeeld http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html (zie vergelijking (22) aldaar) en luidt

$$(1-x^2){{\rm d}^2y \over {\rm d} x^2} -2x {{\rm d}y \over {\rm d} x} + \left[ l(l+1) - {m^2 \over 1- x^2} \right] y = 0.$$ (1)

We willen hier laten zien dat dit overeenkomt met uitdrukking (440) op bladzijde 94 van het dictaat.

We beginnen de discussie met vergelijking (440) op bladzijde 96 van het dictaat,

$$-{1 \over \sin{\theta}} {{\rm d} \over {\rm d}\theta} \lef... ... d} \theta} \right)+ {m^2 g \over \sin^2{\theta}} = l(l+1) g.$$ (2)

We definiëren $x = \cos{\theta}$ en dus ${d \over d\theta} = {d \over dx}{dx \over d\theta} = -\sin{\theta}{d \over dx}.$ Verder stellen we $g = y$. Hiermee kunnen we schrijven

$$-{1 \over \sin{\theta}}{{\rm d} \over {\rm d}\theta} \left( \sin{\theta} {{\rm d} g \over {\rm d} \theta} \right) = {d \over dx} \left( -\sin^2{\theta} {dy \over dx} \right)$$

$$= {d \over dx} \left( x^2 -1 \right) {dy \over dx}$$

$$= \left( x^2 -1 \right) {d^2y \over dx^2} + 2x{dy \over dx}.$$

We definiëren

$${m^2 g \over \sin^2{\theta}} \equiv {m^2y \over 1-x^2}$$ (3)

en vinden nu als differentiaalvergelijking

$$\left( x^2 -1 \right) {d^2y \over dx^2} + 2x{dy \over dx} - \left( l(l+1) - {m^2 \over 1-x^2} \right)y = 0.$$ (4)

We kunnen dit schrijven als

$$\left( 1 - x^2 \right) {d^2y \over dx^2} - 2x{dy \over dx} + \left( l(l+1) - {m^2 \over 1-x^2} \right)y = 0.$$ (5)

Bovenstaande uitdrukking is identiek aan de geassocieerde Legendre differentiaalvergelijking gegeven door uitdrukking (1).