Waterstofatoom en Niels Bohr

De absorptie en emissie van straling bij scherp gedefinieerde golflengten is karakteristiek voor atomen, moleculen en kernen. De representaties van deze golflengten worden lijnenspectra genoemd. Enkele van de energieniveaus van het waterstofatoom worden gegeven in Fig. 4. De klassieke fysica heeft geen verklaring voor deze fenomenen.

Figure 4: Enkele van de belangrijkste energieniveaus en transities voor het waterstofatoom.

De pogingen om de lijnenspectra te beschrijven beginnen bij de quantum postulaten van Niels Bohr. Hij trachtte als eerste het spectrum van waterstofatomen te verklaren door aan te nemen dat

• een atoom kan bestaan zonder straling uit te zenden in elk van een discrete set stationaire toestanden met een precies bepaalde energie;
• een atoom kan enkel straling uitzenden en absorberen als er een transitie plaatsvindt tussen deze stationaire toestanden. De frequentie van de straling, en dus van de corresponderende spectraallijn, wordt gegeven door
  

  $$h\nu_{if} = E_i - E_f ~~~~~~~~({\rm Frequentieconditie~van~Bohr}).$$ (11)

  
  
  Hierbij zijn $E_i$ en $E_f$ de energie van de begin- en eindtoestand die betrokken is in de transitie.

Het atoommodel dat aan het begin van de eeuw werd ontwikkeld, was gebaseerd op metingen van de Engelse fysicus Ernest Rutherford. Hierbij kan men bijvoorbeeld een waterstofatoom vereenvoudigd voorstellen als een elektron dat in een cirkelvormige baan beweegt rond de kern gevormd door een proton. Een en ander is weergegeven in Fig. 5.

Figure 5: Een klassiek model van het waterstofatoom, waarbij een elektron met massa $m$ een cirkelvormige beweging uitvoert rond een centrale kern met massa $M$. We nemen aan dat $M \gg m$.

In het volgende geven we een eenvoudige afleiding (suggestie van Niels Bohr) van de formule voor de energieën van de stationaire toestanden. We passen de tweede wet van Newton, $F=ma$, toe op het ronddraaiende elektron en gebruiken de wet van Coulomb om de kracht op het elektron te vinden. Er geldt

$${1 \over 4 \pi \epsilon_0} {(e)(e) \over r^2} = m {v^2 \over r}.$$ (12)

Voor de kinetische energie van het elektron vinden we

$$K = {1 \over 2}mv^2 = {e^2 \over 8\pi \epsilon_0 r}.$$ (13)

De elektrische potentiële energie van het elektron-proton systeem is

$$U = {1 \over 4 \pi \epsilon_0} {(+e)(-e) \over r} = -{e^2 \over 4\pi \epsilon_0 r},$$ (14)

en de totale energie van het atoom is

$$E= K+U = -{e^2 \over 8\pi \epsilon_0 r}.$$ (15)

We hebben dus nu een uitdrukking voor de energie van het waterstofatoom afgeleid gebruikmakend van zuiver klassieke wetten. De totale energie $E$ van iedere stationaire toestand hangt af van de straal van de baan die hoort bij die toestand. Als we nu niet een uitdrukking voor deze stralen vinden, dan zitten we klem. Kortom, we hebben een quantisatie criterium nodig teneinde discrete energiespectra te vinden.

Om de energieën van de stationaire toestanden in waterstofatomen te vinden heeft Bohr aangenomen dat het baanimpulsmoment $L$ van een circulerend elektron enkel discrete waarden kan aannemen die gegeven worden door

$$L = n{h \over 2\pi}, ~~~~n=1,2,3,....$$ (16)

Merk op dat impulsmoment en de constante van Planck dezelfde eenheid hebben. Wellicht maakt dit feit het wat minder verrassend dat impulsmoment ons de meest eenvoudige quantisatieregel geeft.

We weten dat $L=mvr$ en kunnen met behulp van vergelijking (12) schrijven dat

$$mv^2r = {e^2 \over 4 \pi \epsilon_0}$$ (17)

en vinden dan

$${(mvr)^2 \over mr} = {L^2 \over mr} = {e^2 \over 4 \pi \epsilon_0}.$$ (18)

We vinden voor het baanimpulsmoment

$$L = mvr = \sqrt{me^2 r \over 4 \pi \epsilon_0}$$ (19)

en hierbij volgt voor de stralen van de mogelijke toestanden

$$r = n^2 {h^2 \epsilon_0 \over \pi me^2}, ~~~~~~~n=1,2,3...$$ (20)

De resulterende energieën voor de toegestane toestanden kunnen nu eenvoudig gevonden worden. Er volgt

$$E = - \left( {me^4 \over 8 \epsilon_0^2 h^2 } \right) {1 \over n^2} = - {13.6~{\rm eV} \over n^2}, ~~~~n=1,2,3,....$$ (21)

Hierbij is $n$ een zogenaamd quantumgetal.

Indien we de frequentieconditie met bovenstaande uitdrukking combineren, dan vinden we

$${1 \over \lambda} = R \left( {1 \over l^2} - {1 \over u^2} \right)$$ (22)

voor de golflengten tussen de lijnen van het waterstofspectrum voor een transitie van een hogere (upper) toestand met quantumgetal $u$ naar een lagere (lower) toestand met quantumgetal $l$. Hierbij is $R = 0.01097$ nm$^{-1}$ de zogenaamde Rydberg constante.

Het blijkt dat dit relatief eenvoudig formalisme in verrassend goede overeenstemming (beter dan 0.02 % voor het waterstofatoom) is met de gemeten spectra. De postulaten van Niels Bohr vormden een deel van de basis van de quantummechanica.