Het is duidelijk dat een eigenfunctie van impuls (een harmonische golf)
niet tegelijkertijd een eigenfunctie van de plaats (-functie)
kan zijn. Er bestaat dus geen toestand, waarin een deeltje tegelijkertijd
een scherp bepaalde impuls
en een scherp bepaalde positie
heeft. Men kan zelfs zeggen dat voor een toestand met scherp bepaalde
impuls de positie volledig onbepaald is en omgekeerd.
Een voorwaarde voor het bestaan van een verwachtingswaarde van de
plaats is dat de golffunctie van het deeltje ergens (of op
meerdere plaatsen) geconcentreerd is. Voor het bestaan van de
verwachtingswaarde van de impuls, dient deze op zijn minst een
golfkarakter te hebben. Een redelijk compromis wordt bijvoorbeeld
gegeven door de functie in Fig. 9.
Een dergelijk golfpakket kan volgens de Fourieranalyse worden
opgebouwd uit een
groot aantal vlakke golven van de vorm (48), echter met
verschillende waarden voor , dus met verschillende golflengten.
Deze impulsen dienen in een bepaald gebied
te liggen
en men dient er dan verder nog voor te zorgen dat de fasen zó
gekozen zijn dat men een maximum creëert op de positie
.
Op alle andere plaatsen kloppen de fasen dan niet meer, indien men
oneindig veel waarden voor
gebruikt (in geval van een eindig aantal
-waarden krijgen we periodieke herhalingen). Het is eenvoudig in te zien
dat een dergelijke superpositie een breedte
heeft, die met
de breedte van het gebruikte golflengtegebied samenhangt volgens
![]() |
(54) |
![]() |
(55) |
We zullen nu bovenstaande relatie afleiden voor het geval dat de gewenste
positie van het deeltje , de gemiddelde impuls
, en het
voor de superpositie gebruikte impulsgebied gelijk is aan
. Al deze
partiële golven zijn vertegenwoordigd met gelijke amplitude. Dus
met andere woorden: we weten niet welke impulswaarde uit dit gebied
een voorkeur heeft, maar enkel dat de impuls in dit gebied ligt. Alle
waarden in dit gebied zijn even waarschijnlijk! We vinden de
toestandsfunctie door superpositie en integreren dus over alle partiële
golven,
![]() |
(56) |
![]() |
(57) |
Als we de operatoren beschouwen, dan uit zich de onzekerheidsrelatie
in het feit dat de plaats- en impulsoperator niet verwisselbaar zijn.
Men krijgt verschillende resultaten als men op een functie eerst de
plaats- en dan de impulsoperator laat werken of omgekeerd,
![]() |
(58) |
![]() |
(59) |
![]() |
(60) |
![]() |
(61) |