Stel dat we straling opsluiten tussen twee perfect reflecterende
spiegels en we beperken de discussie tot de modus met de grootste
golflengte (). Als we de amplitude van het elektrische veld
van deze golf zouden uitrekenen, dan vinden we hiervoor
. Het elektrische veld verdwijnt voor
en
en heeft een maximum voor
. De
energiedichtheid wordt gegeven door
en we kunnen ons voorstellen dat de energiedichtheid op elk punt
veroorzaakt wordt door de dichtheid van fotonen op dat punt, waarbij
elk foton een energie
draagt. We concluderen hiermee dat het
quadraat van de amplitude op elk punt van een staande elektromagnetische
golf evenredig is met de dichtheid van fotonen op dat punt.
We kunnen ook stellen dat de waarschijnlijkheid om een foton op een
bepaalde positie aan te treffen evenredig is met het quadraat van de
amplitude die de elektromagnetische golf heeft op dat punt.
Merk op dat met deze formulering onze kennis van de fotonpositie
inherent statistisch bepaald is. We weten niet precies waar een
foton met een bepaalde impuls zich bevindt. Deze statistische
limitatie is fundamenteel zowel voor licht als materie.
Een eenvoudige inleiding tot materiegolven is de studie van de beweging
van een deeltje dat opgesloten is tussen vaste wanden. Met name
atomen zijn systemen, waarin elektronen zijn opgesloten.
Hier beschouwen we allereerst een ééndimensionaal probleem.
We kunnen de relevante golffunctie
bestuderen dankzij de wiskundige relatie met twee klassieke
problemen: de staande-golf oscillaties van een korte, gespannen snaar
en de elektromagnetische oscillaties binnen een trilholte met ideaal
reflecterende wanden.
Met name de waarschijnlijkheid om een elektron op een bepaalde positie
aan te treffen (dit noemt men de waarschijnlijkheidsdichtheid)
is evenredig het het quadraat van de golffunctie op die positie.
In het ééndimensionale geval is
evenredig met de waarschijnlijkheid het deeltje aan te
treffen in het interval tussen
en
. Verder geldt dat
![]() |
(27) |
Fig. 8 geeft de waarschijnlijkheidsdichtheid voor vier
toestanden van een elektron dat is opgesloten in een oneindig diepe
potentiaalput. De
energieën van het opgesloten elektron zijn gelimiteerd tot discrete
waarden, die als volgt gevonden kunnen worden. De potentiële
energie van het elektron in de put is gelijk aan nul en
de totale energie wordt dus gegeven door de kinetische energie
(
). De impuls van het elektron wordt gegeven
door
. We vinden dan voor
de totale energie
![]() |
(28) |