Oneindige rechthoekige put potentiaal

De potentiaal van een rechthoekige put met oneindig hoge wanden kan geschreven worden als

$$V(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \infty & x<-a/2  {\rm or}   x>+a/2 \\ 0 & -a/2 <x< +a/2 \\ \end{array} \right.$$ (211)

en wordt geschetst in Fig. 31.

Figuur 31: Schematische weergave van de potentiaal voor een rechthoekige put met oneindig hoge wanden.

De algemene oplossing van de Schrödingervergelijking voor een deeltje in het interval $-a/2 < x < +a/2$ kan geschreven worden als

$$\psi = Ae^{ik_Ix} + Be^{-ik_Ix},$$ (212)

waarbij het golfgetal gegeven wordt door $k_I = {\sqrt{2mE} \over \hbar}$. We hebben hier te maken met een deeltje dat tussen de beide wanden heen en weer beweegt en we maken de aanname dat de golffunctie in dat gebied een gelijk mengsel is van golven die in beide richtingen bewegen, dus $A=B$. Dit geeft

$$\psi = B\left( e^{ik_Ix} + e^{-ik_Ix} \right) ,$$ (213)

hetgeen ook geschreven kan worden als

$$\psi = B^\prime { \left( e^{ik_Ix} + e^{-ik_Ix} \right) \over 2} ,$$ (214)

waar $B^\prime$ een nieuwe willekeurige constante is, gedefinieerd door de relatie $B^\prime = 2B$. De eenvoudige combinatie van complexe exponentiële functies geeft ons

$$\psi = B^\prime \cos {k_I} x    {\rm met}  k_I={\sqrt{2mE} \over \hbar} .$$ (215)

We kunnen ook een staande golf construeren door te stellen dat $-A = B$ en vinden dan

$$\psi = A\left( e^{ik_Ix} - e^{-ik_Ix} \right) ,$$ (216)

hetgeen geschreven kan worden als

$$\psi = A^\prime {\left( e^{ik_Ix} - e^{-ik_Ix} \right) \over 2i} ,$$ (217)

waar $A^\prime$ een nieuwe willekeurige constante is, gedefinieerd door de relatie $A^\prime = 2iA$. Dit geeft ons

$$\psi = A^\prime \sin {k_I} x    {\rm met}  k_I={\sqrt{2mE} \over \hbar} .$$ (218)

De Schrödingervergelijking is lineair en we schrijven daarom als oplossing

$$\psi = A^\prime \sin {k_Ix} + B^\prime \cos{k_Ix}     {\rm met}  k_I={\sqrt{2mE} \over \hbar}   -a/2 < x < +a/2 .$$ (219)

Merk op dat we vanaf nu de accenten zullen weglaten. We kunnen eenvoudig nagaan dat we hier met een staande golf te maken hebben door te kijken naar de volledige golffunctie $\Psi (x,t) = \psi (x)e^{-iEt/ \hbar}$. Verder dient $\psi (x)$ gelijk aan nul te zijn in het gebied buiten de put, omdat de waarschijnlijkheidsdichtheid daar gelijk aan nul dient te zijn. Met name aan de grenzen van de put dient te gelden

$$\psi = 0     x=\pm a/2 .$$ (220)

We vinden twee klassen van oplossingen die aan deze randvoorwaarden voldoen

$$\begin{array}{lll} \psi_n (x) = B_n \cos{k_nx} & {\rm met}... ... {\rm met} & k_n={n\pi \over a}   n=2,4,6,.. \\ \end{array}$$ (221)

Het quantumgetal $n$ wordt gebruikt om de toestanden te labelen. Als we verder de relatie $k=\sqrt{2mE}/ \hbar$ en de uitdrukking $k_n=n\pi/a$ vinden we

$$E_n = {\hbar^2 k_n^2 \over 2m} = {\pi^2 \hbar^2 n^2 \over 2ma^2}    n=1,2,3,4,5,..$$ (222)

We zien dat de energieën nu gequantiseerd zijn. Verder vinden we weer de nulpuntsenergie $E_1 \neq 0$. Merk op dat dit antwoord identiek is aan hetgeen we gevonden hebben in paragraaf 4.3 op basis van staande golven.

De quantummechanische theorie die in 1925 door Erwin Schrödinger werd ontwikkeld is een generalisatie van het postulaat van de Broglie. Het verschilt behoorlijk van de `oude quantumtheorie' (zie hoofdstuk 3.6). Bijvoorbeeld het beeld van atoomstructuur: in het model van Niels Bohr bewegen elektronen in exact gedefinieerde cirkelbanen rond een kern, terwijl Schrödinger werkt met waarschijnlijkheidsgolven. In de volgende hoofdstukken zullen we trachten ons inzicht significant te verdiepen.