Behoud van impuls

Voor een continue transformatie is het efficiënt een additionele operator (een zogenaamde generator) G in te voeren,

$${\bf U} = e^{i\epsilon {\bf G}} = {\bf 1} + i\epsilon {\bf G} +{1 \over 2!} (i\epsilon {\bf G})^2 + ..,$$ (678)

waarbij $\epsilon$ een reëele grootheid is. Uit de unitariteit van ${\bf U}$ volgt dan dat

$${\bf U^\dagger U} = e^{-i\epsilon {\bf G^\dagger}} e^{i\epsilon {\bf G}} = {\bf 1}   \rightarrow  {\bf G^\dagger = G},$$ (679)

en we vinden dat de hermitische operator ${\bf G}$ de gezochte behouden grootheid vertegenwoordigt. Indien U met een symmetrietransformatie overeenkomt, $[ {\bf H, U} ] = 0$, dan vinden we in de limiet van een infinitesimale transformatie, ${\bf U = 1}+i\epsilon {\bf G}$, direct de relatie

$${\bf H}({\bf 1}+i\epsilon {\bf G} ) - ({\bf 1}+i\epsilon {\bf G} ){\bf H} = 0,$$ (680)

en dus

$$[ {\bf H, G} ]= 0.$$ (681)

Figuur 50: Illustratie van een symmetrietransformatie aan de hand van de translatie van de golffunctie van een deeltje. Het pakket verschuift over een afstand $\epsilon = dx$.

We zullen deze procedure toelichten aan de hand van een eenvoudig voorbeeld. We beschouwen in figuur 50 de translatie van de golffunctie van een deeltje in één dimensie. We eisen, dat voor een waarnemer in het getransleerde coördinatensysteem dezelfde wetten gelden⁴², en dus

$$\begin{array}{rl} \psi^\prime (x^\prime ) = \psi (x-\epsil... ... & = (1+i\epsilon {\bf G} + .. ) \psi (x) .\\ \end{array}$$ (682)

Hiermee vinden we

$${\bf G} = i{d \over dx} = -{1 \over \hbar } {\bf p_x}.$$ (683)

De operator ${\bf U}$ commuteert met de Hamiltoniaan ${\bf H}$, en daarmee dan ook ${\bf G}$, die evenredig is met de impulsoperator ${\bf p_x}$. De hiermee corresponderende observabele $p_x$ is de gezochte behouden grootheid.

In het algemeen vertegenwoordigt de translatieoperator

$${\bf U}(\vec a ) = {\rm exp}(-{i \over \hbar} \vec a \cdot \vec {\bf P})$$ (684)

de volgende transformaties ($\vec {\bf P}$ is de totale impuls van het systeem),

$$\begin{array}{rlll} \vec r^\prime & = {\bf U} \vec r {\b... ...\bf U}^{-1} & = \vec s &      : {\rm spins} \\ \end{array}$$ (685)