Radiële oplossingen

Het radiële deel van de oplossing van de Schrödingervergelijking voldoet aan

$${{\rm d} \over {\rm d} r} \left( r^2 {{\rm d} \chi \over {... ...\over \hbar^2} \left[ V(r) - E \right] \chi = l(l+1) \chi .$$ (447)

We gieten deze vergelijking in een andere vorm en beginnen met een verandering van variabelen,

$$u(r) \equiv r \chi (r) ,$$ (448)

waarmee $\chi = u/r$, $d\chi /dr = [r(du / dr) -u]/r^2$, $(d/dr)[r^2(dR/dr)]=rd^2u/dr^2$ en dus

$$-{\hbar^2 \over 2m}{d^2u\over dr^2}+ \left[ V + {\hbar^2 \over 2m} {l(l+1) \over r^2} \right] u = Eu .$$ (449)

Dit wordt de radiële vergelijking genoemd en deze is identiek in vorm aan de één-dimensionale Schrödingervergelijking, behalve dat de effectieve potentiaal,

$$V_{\rm eff} = V + {\hbar^2 \over 2m}{l(l+1) \over r^2},$$ (450)

een extra term bevat, de zogenaamde centrifugale term, $(\hbar^2 / 2m)[l(l+1)/r^2]$. De term probeert het deeltje naar buiten te drukken (weg van de oorsprong), net als een centrifugale kracht in de klassieke fysica.

De enige eis die we verder nog op kunnen leggen is die van normering. Er dient te gelden dat

$$\int_0^\infty \vert u \vert^2 dr = 1.$$ (451)

Na het scheiden van de variabelen vinden we voor de golffunctie

$\psi_l^m (r,\theta ,\phi ) = r^{-1}u_l(r) Y_l^m (\theta ,\phi )$ ,

waarbij $u_l(r)$ de oplossing is van de radiële vergelijking met $u_l(0) = 0$. Verder dient de functie $u_l(r)$ begrensd te zijn. Meer kunnen we op dit punt niet zeggen. Daartoe hebben we een precieze vorm van de potentiaal nodig.